Se det som en bild av mötet mellan ordning och kaos: Ordningen skapar mönster, kaos mångfald. Enbart ordning är enformigt, enbart kaos är förvirring. I övergångszonen mellan dem befruktas världen och blommar upp. I Mandelbrotmängden sker mötet vid en matematiskt knivskarp gräns, med fullkomligt förbluffande resultat.

Mandelbrotmängden bildar ett vackert, färgrikt mönster, som är oändligt djupt. Om man förstorar en del av Mandelbrotmängden får man en ny bild, med nya mönster. Man kan förstora miljarders miljarder gånger, utan att mångfalden mattas. Tvärtom tycks mångfalden bli allt rikhaltigare ju djupare in i Mandelbrotmängdens universum man tränger.

Olika områden av mängden innehåller helt olikartade landskap. Man kan ge sig ut på upptäcktsfärd i sjöhästarnas dalgångar i bildens västra regioner, vandra genom kaleidoskopiska labyrinter längs mängdens oändligt långa kust, segla ut till de avlägsna, vildvuxna öarna i söder och norr, eller besöka elefantdalens djungler österut. Överallt vimlar det av spiraler, öglor, virvlar, flimmerhår, som i en slags matematisk undervattensvärld utan slut. Om man vill kan man se det som ett dataålderns konstverk, ett fantastiskt mandelbröd insvept i oändlighetens färggranna julklappspapper. Men det är intressantare än så.

Mandelbrot själv är en högst levande person. Han heter Benoît Mandelbrot, är polsk matematiker, född 1924, sen länge bosatt i USA, datorernas förlovade land. Mandelbrot har skapat en helt ny sorts geometriska föremål som han kallar "fraktaler", och som är oerhört mycket komplexare än den klassiska geometrins cirklar och trianglar. Den väsentliga egenskapen är att en delförstoring av en fraktal fortfarande är en fraktal. Mandelbrotmängden är det stora paradnumret, men den fraktala geometrin har fått stor praktisk nytta när man ska hantera bilder med datorer. Datorns snabbhet är en förutsättning. Men när Benoît Mandelbrot började studera sin mängd för så där femton år sen tog det flera timmar att räkna fram en enda bild, även på de stora forskningsdatorerna. I dag är vanliga hemdatorer så snabba att vem som helst kan sitta och leka med Mandelbrotmängden. Det finns massor av olika Mandelbrotprogram, mer eller mindre lyckade. Många kan man hämta gratis på Internet. Förbluffande nog är de ytterst enkla. Den oändligt rikhaltiga Mandelbrotmängden kan skapas med datorprogram som innehåller färre tecken än den här artikeln. Och hjärtat i alltihopa är en nästan banal liten matematisk formel.

Enkelt uttryckt: Datorns skärm är indelad i tusentals små rutor. För varje ruta görs en liten uträkning som bygger på den enkla formeln. Resultatet avgör vilken färg rutan ska ha. Att denna enkla procedur kan ge en sådan ofantlig mångfald beror på matematikens inneboende rikedom. Med matematik kan man utforska det oändligt stora och det oändligt lilla, oberoende av fysikens begränsningar. Allting går att dela i hur små bitar som helst. Talet 0,0000000001 är tio gånger större än 0,00000000001. Skillnaden blir uppenbar vid hundra miljarder gångers förstoring. Mandelbrotmängdens lilla formel fungerar som en pincett med oändligt fin spets, varmed man kan dissekera det gränslöst lilla.

Så här går det till: Varje ruta på skärmen motsvaras av ett talpar, latituden och longituden för rutans mittpunkt. Välj ett sådant talpar. Multiplicera det med sig själv, och lägg till det ursprungliga talparet. Multiplicera resultatet med sig själv och lägg till det ursprungliga talparet. Multiplicera resultatet med sig själv och lägg till det ursprungliga talparet. Multiplicera resultatet med sig själv och lägg till det ursprungliga talparet... Mer än så är det inte: En enkel liten operation som upprepas om och om igen; ett perfekt jobb för en dator.

För varje punkt på datorskärmen maler den här operationen fram en sifferserie. Sifferserien kan bete sig på endera av två möjliga sätt: Antingen växer den över alla bräddar och blir hur stor som helst, eller så gör den inte det. Själva Mandelbrotmängden, bildens centrala svarta figur, består av de punkter på skärmen vars sifferserier inte rusar iväg och blir oändligt stora, utan förblir ändliga. Punkter utanför själva det svarta mandelbrödet har alltså sifferserier som växer och till slut blir oändligt stora. Men de växer olika snabbt. Den hastighet varmed de växer bestämmer vilken färg motsvarande ruta ska få.

På gränslinjen bor kaos. När man närmar sig den utifrån blir sifferserierna alltmer tveksamma. De hoppar ofta omkring till synes slumpmässigt, som om de inte vet vart de ska ta vägen. Först efter tiotals, hundratals eller tusentals steg bestämmer de sig plötsligt och rusar brant uppåt. Det dröjer längre och längre ju närmre gränslinjen man kommer. På själva gränsen fortsätter det kaotiska irrandet i all evighet. Ändå finns det ett system i detta kaos: Två punkter som ligger nära varandra ger upphov till sifferserier som beter sig nästan likadant. Det finns kontinuitet mitt i alltihopa, och det är det som skapar ordning och mönster i det kaotiska irrandet.

Så går det till när ordning och kaos möts, och ur något mycket enkelt skapar matematisk skönhet utan gräns.

ŠLars Rosenberg

(Ur Hallands Nyheter december 1996)

- - Kosmoskaos - - Väderkaos - - Kvantkaos - - Havskaos - - Multikaos - - Sandkaos - - Gödelkaos - - Livskaos - - Mandelkaos - - Bildkaos - - Beslutskaos - - Kaoskaos - - Kapitalkaos - - Kaosplock - -

START